פרופ' ערן ישראלי למד בבית הספר לרפואה באוניברסיטת בן גוריון, ובהמשך סיים התמחות ברפואה פנימית בבית החולים קפלן והתמחות בגסטרואנטרולוגיה בבית החולים הדסה עין כרם.
בהמשך דרכו קיבל את תואר המומחה בגסטרואנטרולוגיה בשנת 2001 ממשרד הבריאות.
פרופ' ערן ישראלי שירת במגוון תפקידים בשירות קבע בחיל הרפואה בצה"ל, האחרון שבהם – ראש תחום מחקר. הוא פרש בדרגת סא"ל ב-2007.
הוא עבר השתלמות באוניברסיטת מניטובה שבקנדה, אחד המרכזים המובילים בעולם בתחום של אפידמיולוגיה של מחלות מעי דלקתיות.
פרופ' ישראלי מונה למנהל היחידה למחלות מעי דלקתיות במרכז הרפואי הדסה בשנת 2010, ושימש כמ"מ מנהל המכון לגסטרואנטרולוגיה במהלך השנים 2017-2018.
פרופ' ישראלי שימש במספר תפקידים בפקולטה לרפואה של האוניברסיטה העברית בירושלים, כולל יו"ר ועדת הקבלה לביה"ס לרפואה,
ומרכז ההוראה בשנים הפרה-קליניות והקליניות בתחום הגסטרואנטרולוגיה והכבד.
הוא מונה לדרגת פרופ' חבר במסלול הרגיל בשנת 2017, ופרסם מעל 90 מחקרים בתחומו.
פרופ' ישראלי מביא מניסיונו העשיר למכון לגסטרואנטרולוגיה בוולפסון מתוך מטרה, לדבריו: "לקדם את המכון לאחד המכונים המובילים בישראל ובעולם,
תוך דגש על מצוינות בשירות למטופלים, הכנסת טכנולוגיות חדשות שבחוד- החנית של הרפואה, וקידום מחקר רפואי".